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§3 Diskretisierung des gekoppelten Systems 79

wird. Bei den Gleichungen (III.26) und (III.27) bedeutet dies, dass die rechte Seite

unver

andert bleibt.

Nach der Berechnung der beiden Konzentrationsfelder der Edukte, kann im n

achs-

ten Schritt des Algorithmus die Konzentration des Reaktionsproduktes c

berechnet

werden. Um diese Rechnung zu erleichtern, werden die beiden letzten Terme von (III.8)

bez

uglich c

in der Zeit explizit behandelt. Dies f

uhrt, nach der Diskretisierung in der

Zeit, zu der folgenden linearen Gleichung,

C,k

∆t



−

∞

∆c

C,k

+ u

· ∇c

C,k



= c

C,k−1

−

∆t



−

∞

∆c

C,k−1

+ u

k−1

· ∇c

C,k−1



∆t

chem

A,k−1

B,k−1

+ c

A,k

B,k

)

−Λ

nuc



max



0, (c

C,k−2

− 1)



+ max



0, (c

C,k−1

− 1)



−



C,k−2

−

sat

C,∞



p,min

k−2

d (d

)

−



C,k−1

−

sat

C,∞



p,min

k−1

d (d

)

(III.28)

welche einer linearen Konvektions–Diﬀusions–Reaktionsgleichung zum Zeitpunkt t

entspricht. Bei der r

aumlichen Diskretisierung und der Stabilisierung dieser Gleichung

werden ebenfalls das lineare FEM–FCT–Verfahren mit dem Q

Finite–Element oder

eine SUPG–Stabilisierung angewandt. Nachdem die Gleichung (III.28) gel

ost ist, sind

alle Konzentrationsfelder im Zeitpunkt t

bekannt.

Die Transportgleichung (III.9), die die Populationsbilanz modelliert, ist, im Gegen-

satz zu den bisherigen Gleichungen, in einem h

oher–dimensionalen Gebiet deﬁniert.

Wie in §1 ausgef

uhrt, ist die betrachtete innere Koordinate die Partikelgr

oße des Nie-

derschlags der F

allungsreaktion. F

ur jede weitere zu simulierende Partikeleigenschaft

urde eine Dimension hinzukommen. Die erh

ohte Anzahl der Dimensionen ist auch der

Grund, warum man eine teurere und aufwendigere L

osung erwartet als bei den anderen

Gleichungen des gekoppelten Systems. Daher sollen verschiedene Herangehensweisen

zur Diskretisierung von (III.9) untersucht werden. Dabei sollen sowohl Verfahren h

herer Ordnung als auch Verfahren niedriger Ordnung miteinander in Relation gesetzt

werden. Das Ziel ist ein Vergleich von aufwendigen und weniger teueren Verfahren im

Hinblick auf die Genauigkeit und die ben

otigten Rechenzeiten.

Der erste Ansatz, der untersucht werden soll, ist das lineare FEM–FCT–Verfahren,

das in §3.1.2 beschrieben ist. Da die FEM–FCT–Verfahren urspr

unglich f

ur Transport-

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