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Roland 5000s Manual do Utilizador Página 36

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8 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str
¨
omungen
mathematische Definition von
dF
d
e
t
(
e
t,
e
x) mit
e
x = (ex
1
, ex
2
, ex
3
)
T
ist gegeben durch
dF
d
e
t
e
t,
e
x
= lim
4
e
t→0
"
F
e
t + 4
e
t, ex
1
+ eu
1
4
e
t, ex
2
+ eu
2
4
e
t, ex
3
+ eu
3
4
e
t
4
e
t
−
F
e
t, ex
1
, ex
2
, ex
3
4
e
t
#
.
Mit einer Taylorentwicklung des ersten Terms nach
e
x erh
¨
alt man
dF
d
e
t
e
t,
e
x
= lim
4
e
t→0
1
4
e
t
"
F
e
t, ex
1
, ex
2
, ex
3
+
∂F
∂ex
1
eu
1
4
e
t +
∂F
∂ex
2
eu
2
4
e
t
+
∂F
∂ex
3
eu
3
4
e
t +
∂F
∂
e
t
4
e
t + O
4
e
t
2
+O
4
e
t
3
+ . . . − F
e
t, ex
1
, ex
2
, ex
3
#
= lim
4
e
t→0
"
eu
1
∂F
1
∂ex
1
+ eu
2
∂F
2
∂ ex
2
+ eu
3
∂F
3
∂ex
3
+
∂F
∂
e
t
+ O
4
e
t
+ O
4
e
t
2
+ . . .
#
,
wobei O das Landausche Symbol ist.
In diesem Zusammenhang muss man beachten, dass die Ableitungen eu
i
=
dex
i
d
e
t
, also
die zeitliche Ver
¨
anderung von ex
i
, mittels der Materialableitung definiert werden. Im
Allgemeinen beschreibt dex
1
dex
2
dex
3
ein infinitesimal kleines Volumen, welches nicht
durch ein Medium beschr
¨
ankt wird. Mit anderen Worten, die Geschwindigkeit
e
u ei-
nes solchen Volumens ist nicht notwendigerweise die Fluidgeschwindigkeit. Sie kann
auch die Geschwindigkeit eines Beobachters sein, der sich durch das Volumen bewegt.
Diese Vorstellung zeigt erneut die Unterschiede der verschiedenen Sichtweisen in der
Fluiddynamik auf.
Unter der Annahme des Grenzwertes, 4
e
t → 0, erh
¨
alt man die Definition der
Material- oder Lagrangeschen Ableitung
d
d
e
t
F
e
t, ex
1
, ex
2
, ex
3

=
∂
∂
e
t
+
e
u · ∇
F
e
t,
e
x
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