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54 Kapitel III FEM Simulation von F

allungsprozesse

Die Populationsbilanzen m

ussen also Transportph

anomene und Reaktionsprozesse

mit den Aspekten der evolution

aren Entwicklung der Partikel in einen Zusammenhang

bringen. Dies geschieht aus systemwissenschaftlicher Sicht durch eigenschaftsverteilte

Systeme, die durch ein gekoppeltes System partieller Integro–Diﬀerentialgleichungen

aus physikalischen Bilanzgleichungen und Erhaltungsgesetzen beschrieben werden

[Gil97].

ur die meisten praktischen Anwendungen ist es ausreichend, anzunehmen, dass der

Zustand eines Partikels durch einen endlich–dimensionalen Vektor, den sogenannten

Zustandsvektor des Partikels, beschrieben werden kann. Dieser Partikelzustand beinhal-

tet zum einen die Ver

anderungsrate der Variablen und zum anderen den Entstehungs–

und Vernichtungsprozess der Partikel.

Ublicherweise wird hier zwischen den Ortskoordinaten oder

außeren Koordinaten

x = (ex

, ex

) und den Eigenschafts– oder inneren Koordinaten

i = (

, . . . ,

)

unterschieden. Der Zustandsvektor (

i) liegt dann im Zustandsraum

Ω = Ω

× Ω

einem Produkt aus dem physikalischen Raum und dem Raum der inneren Koordinaten,

der je eine Dimension pro zugeschriebener Partikeleigenschaft besitzt.

Obwohl die einzelnen Partikel zuf

allig im Zustandsraum verteilt sind, kann man f

große Populationen durch Mittelung und Erwartungswerte ein deterministisches oder

auch statistisches Verhalten beschreiben. Um geeignete Gr

oßen f

ur die Darstellung der

simulierten Partikelpopulationen zu deﬁnieren, nimmt man an, dass eine Verteilungs-

dichtefunktion auf dem Zustandsraum Ω deﬁniert werden kann [Ram00]:

en(

i).

Die linke Seite ist der Erwartungs- oder Mittelwert

uber die Anzahl der Partikel im

aktuellen Zeitpunkt

t, was der auf der rechten Seite beschriebenen Verteilungsdichte-

funktion

f entspricht. Diese kann nach [Ram00] als hinreichend glatt und diﬀerenzierbar

angenommen werden und erlaubt, die Anzahl von Partikeln in jeder Region des Zu-

standsraumes zu berechnen. Die Gesamtzahl der Partikel zum Zeitpunkt

t im ganzen

System ist demnach gleich

Ω

i) dV

und die Gesamtzahl der Partikel im physikalischen Raum pro Einheitsvolumen zum

1 2 ... 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 ... 194 195

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